A. Lời nói đầu
Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy các em học sinh thường hay gặp khó khăn với những bài toán cực trị. Với vốn hiểu biết ít ỏi, tôi hi vọng phần nào tháo gỡ được những khó khăn ấy. Vẫn biết để đi tìm lời giải chung cho một loại toán là không thể, nhưng ở đây tôi cố gắng giới thiệu một vài suy nghĩ, trình bày phương pháp tiếp cận với từng bài toán cụ thể để qua đó các em học sinh có thể phần nào vận dụng các suy nghĩ đó để giải các bài tập tiếp theo.
Kiến thức là vô tận, ta không thể dạy cho các em toàn bộ kiến thức của nhân loại, nhưng nếu trang bị tốt cho các em phương pháp tiếp cận kiến thức thì các em có thể tự mình tìm tòi, phát hiện, học hỏi được những kiến thức cần thiết cho bản thân.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng chắc chắn không tránh khỏi những sai lầm, rất mong sự ủng hộ, góp ý của các thầy cô, các bạn đồng nghiệp!

B. Một vài ví dụ
Bài 1: Cho đường tròn (O; R), dây BC cố định. Tìm vị trí của A trên cung lớn BC để tam giác ABC có chu vi lớn nhất.

Hướng dẫn:
BC cố định nên góc CAB không đổi, độ dài BC không đổi
Chu vi tam giác ABC chỉ còn phụ thuộc vào AB+AC.
Trên tia đối của tia AB lấy D sao cho AC = AD vậy chu vi của tam giác ABC phụ thuộc vào độ dài của BD hơn nữa góc CDB cũng không đổi hay BD là dây của cung chứa góc
A dựng trên BC. Vậy BD lớn nhất bằng đường kính của cung chứa góc
A dựng trên BC <=> A là điểm chính giữa của cung lớn BC



Bài 2: Cho đường tròn (O; R) với dây AB cố định sao cho khoảng cách từ O tới AB bằng
. Gọi H là trung điểm của AB, tia HO cắt đường tròn (O; R) tại C. Trên cung nhỏ AB lấy M tùy ý ( khác A, B). Đường thẳng qua A và song song với MB cắt CM tại I. Dậy CM cắt dây Ab tại K.
a) So sánh góc AIM với góc ACB.
b) Chứng minh:

c) Gọi R1, R2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MAK và tam giác MBK, hãy xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ AB để tích R1.R2 đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn:
a) OH=
=> Nhận xét quan hệ giữa dây và và sđ cung căng dây ( Sđ cung AB = 1200)
Từ đó tìm được quan hệ giữa hai góc AIM và ACB.
b) Thường chuyển về tỉ số các đoạn thẳng
( Cần chứng minh
)
Tìm cách quy đồng mẫu vế trái bằng cách chỉ ra các tam giác đồng dạng?
Tam giác chứa hai cạnh MK, MA đồng dạng với tam giác nào? tam giác chứa hai cạnh MK, MB đồng dạng với tam giác nào?
(Tam giác MKA và tam giác MBC đồng dạng
, tam giác MKB và tam giác MAC đồng dạng

Vậy

do đó ta phải chứng minh MA+MB = MC
c) Để tìm giá trị lớn nhát của tích R1.R2, ta tìm mối liên hệ của tổng R1+R2 với các yếu tố không đổi của bài toán
Để ý hai tam giác AMK, BMK có hai góc AMK, BMK không đổi (= 600), tổng hai cạnh đối diện không đổi. ( dùng công thức
)
Lời Giải sơ lược:
a) Xét tam giác AOH có CosO =



Tam giác ABC có đường cao CH đồng thời là trung tuyến. Vậy tam giác ABC đều =>

AI // MB => góc AIM = góc CMB = góc CAB = 600
Vậy góc AIM = góc ACB.

b) Tam giác AIM đều ( có hai góc bằng 600 ) => AM = MI.



và
đồng dạng nên


và
đồng dạng nên

Vậy:
hay


Bổ đề: Trong tam giác ABC:

CM:
Vẽ đường kính BD => góc A = góc D
Xét tam giác vuông BCD
BD =
hay
tương tự ta cm được




c) Áp dụng bổ đề ta được:
Trong tam giác AKM:

Trong tam giác BKM:

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âm R1, R2 có:

dấu bằng khi R1=R2 ( AK = BK ( M là điểm chính giữa của cung AB.
Vậy R1R2 max =
khi M là điểm chính giữa của cung AB.


Bài 3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, lấy C là trung điểm của AO. Kẻ hai tia Ax và By vuông góc