khai thác bài toán từ một bất đẳng thức đơn giản

Bất đẳng thức gốc:

*Hướng thứ nhất:
Bài toán 1.1: Cho a + b ≥ 0. CMR:
*Hướng thứ hai:

Tương tự với a, b, c > 0 thì:
Từ đó ta có bài toán:
Bài toán 1.2: Cho a, b,c > 0. CMR:
*Hướng thứ ba:
Từ (1) Tương tự với a, b, c > 0 thì:
Do đó ta có bài toán:
Bài toán 1.3: Cho a, b, c > 0. CMR:
*Hướng thứ tư:
Từ (1)

Tương tự với a, b, c > 0 thì:
Ta đề xuất được bài toán:
Bài toán 1.4: Cho a, b > 0. CMR:

*Hướng thứ năm:
Cũng từ (1) ta có:

Tương tự với a, b, c > 0 thì:
Ta đề xuất được bài toán:
Bài toán 1.5: Cho a, b > 0. CMR:
*Hướng thứ sáu:
Nếu ta bổ sung điều kiện abc = 1 thì ta có bài toán sau:
Bài toán 1.6: Cho a, b,c > 0 và abc = 1. CMR:
*Hướng thứ bảy:
Mặt khác từ (1)

Tương tự với a, b, c > 0 th
Ta đề xuất được bài toán:
Bài toán 1.7: Cho a, b, c > 0. CMR:
*Hướng thứ tám:
Từ (1) ta biến đổi:

Tương tự với a, b, c > 0 th
Ta đề xuất được bài toán:
Bài toán 1.8: Cho a, b, c > 0. CMR:
*Hướng thứ chín:
Mặt khác từ (1)

Tương tự với a, b, c > 0 th
Ta có bài toán:
Bài toán 1.9: Cho a, b, c > 0, abc = 1. CMR: (IMO 1996)
*Hướng thứ mười:
Mặt khác từ (1)

Tương tự với a, b, c > 0 thì:



Mặt áp dụng bất đẳng thức: cho hai số không âm, ta có:

Tương tự với a, b, c > 0 thì:

Ta có bài toán:
Bài toán 1.10: Cho a, b, c > 0. CMR:

*Hướng thứ mười một:
Mặt khác: Với a, b, c > 0 tương tự (1) ta có:

áp dụng bất đẳng thức: cho hai số không âm, ta có:

Ta có bài toán:
Bài toán 1.11: Cho a, b > 0. CMR:

*Hướng thứ mười hai:

Ta có bài toán:
Bài toán 12: Cho a, b, c > 0. CMR:


Bài tập đề nghị:
Áp dụng bất đẳng thức (1) để tiếp tục chứng minh các bài toán sau:

Bài tập 1: Cho a, b, c > 0. CMR:

Bài tập 2: Cho a, b, c > 0. CMR:

Bài tập 3: Cho a, b, c > 0. CMR:

Bài tập 4: Cho a, b, c > 0. CMR:

Bài tập 5: Cho a, b, c > 0. CMR:

Có thể sử dụng gợi ý sau:

Bài tập 1: Chứng minh:
Bài tập 2: Chứng minh:
Bài tập 3: Chứng minh:
Bài tập 4:Chứng minh:
Bài tập 5: Ta có: