Chuyên đề tính giá trị của biểu thức đại số
với điều kiện cho trước

Đặt vấn đề
Bài tập tính giá trị của một biểu thức đại số có hai loại chính là :
Tính giá trị của biểu thức không có điều kiện dàng buộc giữa các biến số
Tính giá trị của biểu thức trong đó giá trị của các biến số lại bị dàng buộc bởi một hoặc nhiều điều kiện nào đó

Ví dụ 1: Các bài tập sau đây là loại tính giá trị không có điều kiện
Tính f(2) biết f(x) = 5x5+ 4x4+ 3x3+ 2x2+ x + 1
Cho biểu thức :
A =

Tính giá trị của A nếu x = 2007

Ví dụ 2 : Các bài tập sau đây là loại tính giá trị có điều liện
1) Cho a3+ b3+ c3 = 3abc và abc ( 0
Tính giá trị của biểu thức B =

2) Cho a + b + c = 0 và a2+ b2+ c2 = 14
Tính giá trị của biểu thức : C = a4+b4+ c4
Giả sử m , n thoả mãn mn = 3 là hai nghiệm phân biệt của
phương trình :
x4 + a.x3 + b.x2 + a.x + 1 = 0
Tính giá trị của biểu thức Q = 9a2 – 48b + 2007 .

Việc luyện tập cho HSG có cách nhìn tổng quát về loại bài tập tính giá trị của biểu thức đại số nói chung và tính giá trị của biểu thức có diều kiện nói riêng là rất quan trọng .Nó giúp HS có một tư duy toán học chặt chẽ , chính xác , rèn luyện phép biến đổi đại số linh hoạt để HS tự tin khi gặp các loại toán này.Tuy nhiên chuyên đề này chỉ bàn tập trung vào loại tính giá trị với điều kiện cho trước . Loại tính giá trị không có điều kiện đã dược bàn tới nhiều trong sách giáo khoa và sách bài tập

B . Nội dung chuyên đề
Loại 1 : Không tính được giá trị cụ thể của các biến số
Ví dụ 1 : Cho x+y = 3 Tính giá trị của biểu thức
A = x2+ y2+ 2xy – 4x – 4y + 1
Với loại này ta cần biến đổi A thành gồm toàn các nhóm x + y rồi thay 3 vào :
A = ( x + y)2- 4( x + y)+ 1 = 32- 4.3 + 1 = - 2

Ví dụ 2 : Cho a3+b3+c3= 3abc ( 0 . Tính giá trị của biểu thức :
B =

Rõ ràng ta có thể đánh giá quan hệ giữa a, b, c từ giả thiết chứ không thể tính được cụ thể a , b , c.Để thuận lợi biến đổi biểu thức A về dạng dễ đánh giá hơn
B =


Từ giả thiết: ( a + b )3+ c3- 3ab( a + b ) – 3abc = 0

( a + b + c)( a2+ 2ab + b2- ac – bc + c2) – 3ab( a + b + c) = 0

( a + b + c )( a2+ b2+ c2- ab – bc – ca ) = 0
Vậy ta được a + b + c = 0 , hoặc a2+ b2+ c2 – ab – bc – ca = 0

* Với a + b + c = 0 , ta được a + b = - c ; b + c = - a ; c + a = - b
Khi đó B =
= - 1
* Với a2+ b2+ c2- ab – bc – ca = 0

2a2+ 2b2+ 2c2- 2ab – 2bc – 2ca = 0

( a – b)2+ ( b – c)2+ ( c – a)2 = 0 . Vậy a = b = c
Khi đó B =
= 8
Ví dụ 3 : Cho 3 số dương x , y , z thoả mã